Génesis del número en el niño
Jean Piaget
Alina Szeminska
Biblioteca Pedagógica. Guadalupe
5ª edición. Buenos Aires, 1975
Capítulo III
El análisis de los comienzos de la
cuantificación nos ha llevado a plantear el problema de la correspondencia.
Comparar dos cantidades es, efectivamente, o bien poner en proporción sus
dimensiones, o bien poner sus elementos en correspondencia término a término.
De estos dos procedimientos, sólo este último, a partir de Cantor, se nos
presenta como el verdaderamente constitutivo del número entero mismo, ya que
proporciona el cálculo más simple y más directo de la equivalencia de los
conjuntos. Como bien lo ha demostrado Brunschvice. la tardanza en descubrir
esta operación en el orden de la reflexión, se debe a que esa operación es
efectivamente primitiva en el orden de la construcción: a este respecto, la
función que la correspondencia desempeña en la síntesis del número se revela
tanto en el cálculo digital como en el intercambio de uno con uno.
Sin embargo, si bien la
correspondencia término a término se presenta ciertamente como el instrumento
que el espíritu utiliza para descomponer las totalidades que se irán a
comparar entre sí, ella no es suficiente, bajo su o sus formas originales, para
conferir a las colecciones en correspondencia la equivalencia propiamente
dicha, es decir, la misma “potencia” o valor cardinal, concebido a título de
constante resultante de la correspondencia como tal. A este respecto el
capítulo precedente nos presentaba esta alternativa: o bien factores de orden
perceptivo impiden en un comienzo la realización de la correspondencia e
imposibilitan la noción de la equivalencia durable de las colecciones en
correspondencia, o bien hay una evolución de la correspondencia como tal, desde
la simple correspondencia global de las figuras de conjunto (que es solamente
una anticipación de la cuantificación de éstas), hacia la correspondencia realmente
cuantitativa, fuente de equivalencia necesaria y por ende de inva- riancia
cardinal. Y es este problema de la evolución eventual de la correspondencia lo
que es conveniente estudiar ahora.
En primer lugar, conviene distinguir,
desde un punto de vista psicológico y no lógico, dos clases de situaciones en
que el niño llegará a descubrir o practicar la correspondencia término a
término. Están pot una parte los casos en que se hace evaluar al niño una
cantidad de objeto» dados valiéndose de objetos de la misma naturaleza, que él
hace corresponder a aquéllos; por ejemplo: al colocar un jugador 4 ó 6 bolas de billar en la mesa, su
compañero querrá colocar otras tantas, e incluso sin saber contar, logrará
fácilmente construir una colección equivalente. Esta correspondencia entre
objetos homogéneos trae consigo todo el problema ' de la cardi- nación:
reservaremos su análisis para el capítulo IV, en el curso del cual estudiaremos
la constitución de' la correspondencia espontánea en general. Pero existe
además una situación más simple todavía, por cuyo estudio comenzaremos aquí: es
la correspondencia entre objetos heterogéneos pero cualitativamente
complementarios, correspondencia provocada, si así puede decirse, por las
circunstancias exteriores mismas. Por ejemplo: se puede hacer que el niño,
durante una comida, coloque un huevo por cada huevera, o un vaso por cada
botella, o una flor por cada florero, etc. Y sobre todo hay que hacer entrar en
esta categoría el intercambio de uno con uno, por ejemplo, el intercambio
repetido de una flor o un bombón con una moneda, etc. Limitaremos nuestra
investigación en este capítulo a estas situaciones de correspondencia
provocada, con eí único fin de establecer si la correspondencia término a
término operada por el niño mismo, y a veces con nuestra ayuda, implica
necesariamente en su espíritu la idea de una equivalencia durable entre los
conjuntos que se corresponden. Como trataremos de mostrar que eso no ocurre,
tendremos que poner especial cuidado en ser prudentes en la elección de los
ejemplos, y por esto empezaremos por el análisis de estas conductas
elementales, reservándonos para el capítulo siguiente el estudio de la
correspondencia en general.
El itinerario a seguir será este:
estudiaremos primero la correspondencia entre n vasos y n botellas (de 6 a 10). Esta primera
experiencia nos demostrará que no existe en el niño la noción de una
equivalencia durable, y en consecuencia pasaremos, en § 2, al análisis de la
correspondencia entre las flores y los floreros, más fácil aun, puesto que las
flores no se depositan al lado de los floreros sino dentro de ellos. Como el
resultado será el mismo, controlaremos su validez por medio de una relación más
simple aun: la de las hueveras y los huevos. En efecto: cada huevera sólo
contiene un huevo, mientras que la relación entre el número de los vasos y de
las botellas o el de las flores y de los floreros es arbitraria. Al comprobar
que las reacciones se mantienen constantes, procederemos en § 3 al estudio del
intercambio de uno con uno sin numeración hablada, y en § 4, con numeración
verbal. Veremos que la presencia de esta última no altera en nada el resultado
de las experiencias 1 a 3.
§ 1. LA
CORRESPONDENCIA TERMINO A TERMINO ENTRE LOS VASOS Y LAS
BOTELLAS
Se colocan sobre la mesa 6 botellitas alineadas (botellas de
2-3 cms. para juegos de muñecas), y se señala una bandeja con una colección de
vasos: “Mira, son botellitas. ¿Qué se necesita para poder beber lo que hay en
ellas? —Vasos. —Bien, ahí están los vasos. Saca de esa bandeja la misma
cantidad de vasos, lo mismo de vasos que de botellas, un vaso por botella”. El
niño opera por sí mismo la correspondencia colocando un vaso delante de cada
botella. Si se equivoca por mucho, o por muy poco, se le pregunta: “¿Crees que
es lo mismo?”, hasta que haya hecho el máximo esfuerzo por hacerlo bien. Sólo
los niños de la primera etapa (de 4 a 5 años) pueden equivocarse, y de ellos
hablaremos en seguida. Se puede facilitar la correspondencia haciendo verter
las botellas en los vasos: cada botella llena un vaso exactamente. Una vez que
se ha establecido la correspondencia, se hace un grupo con los 6 vasos y se pregunta de nuevo: “¿Hay
lo mismo de vasos y de botellas?”. Si el niño contesta que no, se insiste:
“¿Dónde hay más?” y “¿Por qué hay más allí?”. Después vuelven a ubicarse los
vasos en hileras y se hace un grupo apretado con las botellas, etc- repitiendo
las preguntas cada vez.
Clasificaremos los resultados
obtenidos en tres etapas, caracterizadas del siguiente modo: I. Carencia de
correspondencia término a término y de equivalencia; II. Correspondencia
término a término pero carencia de equivalencia durable; III. Correspondencia y
equivalencia durable.
I.La primera etapa: ni correspondencia exacta ni equivalencia. In
cluimos en esta primera- etapa a todos los niños que no logran
efectuar la correspondencia término a término,' sino que proceden a una simple
correspondencia global fundada en la percepción de la longitud de las hileras.
En estos sujetos, es evidente que la falta de equivalencia durable entre los
conjuntos a corresponder resulta de la ausencia de correspondencia término a
término, puesto que la longitud de las hileras varía según sea el espacio
intercalado entre los objetos:
BON (4 años): —Tenemos ahí esas
botellitas. ¿Qué es lo que falta si queremos beber? —Vasos. —Ahí tienes muchos
vasos (se los coloca sobre la mesa). Tienes que poner estos vasos aquí, pero
que vayan justo para estas botellas, un vaso por cada botella. (El niño toma
los 12 vasos, pero los amontona, de manera que las botellas forman una hilera
uu poco más larga). —¿Dónde hay más?
•—Allí (las
botellas). —Entonces coloca un vaso por cada botella. —(Hace con los 12 vasos una hilera de la misma
longitud que la que forman las 6 botellas espaciadas). —¿Es lo mismo?
—Si. —(Distanciamos las botellas). —¿Hay
lo misino de vasos y de botellas? —Sí (pero distancia ligeramente los
vasos). —(Distanciamos de nuevo las botellas). —Aquí hay poco (los 12 vasos), aquí hay mucho (las 6 botellas).
GOL (4 años) empieza por verter el
contenido de cada botella en un vaso. Cuando llega a la 4a. botella, al ver que
no podrá hacer corresponder las 6 botellas a los 12 vasos, exclama
espontáneamente: —¡Pero no hay muchas botellas! —Entonces puedes sacar los
vasos. —(Acaba por hacer la correspondencia entre 7 vasos y 6 botellas, juntando un poco los
primeros). —¿Hay la misma cantidad de vasos y de botellas? —Sí —(Ponemos un vaso delante de cada
botella, quedando así un vaso sin botella qne le corresponda). —Tengo que poner una botella más. —(Se la damos). ¿Y ahora está bien?
—(Dispone los elementos de tal manera que la primera botella corresponde al
segundo vaso, y así sucesivamente hasta la 7a. botella, a la que no corresponde
ningún vaso). —No, ahí hay un vaso que falta, y ahí hay un vaso que no tiene botella. —¿Entonces qué es lo que falta? —Una botella y un vaso. —(Se los damos, pero él los pone uno
enfrente de otro y hace mal la correspondencia hasta el final.
CAR (5; 2): —Haz que cada botella
tenga su vaso. —(El niño, que habia tomado todos los vasos, saca algunos, y
deja 5, que hace corresponder a las 6 botellas, distanciándolos para
obtener una hilera de la misma longitud). —¿Hay lo mismo de vasos y botellas? —Sí. —¿De veras hay lo mismo? Sí. —(Apretamos un poco las 6 botellas delante de los 5 vasos de
manera que la longitud deja de ser igual). ¿Hay lo mismo de vasos y botellas? —No. —¿Por qué? —Las botellas son pocas. —¿Hay más vasos o más botellas? —Más vasos. (Los acerca un poco). —¿Hay lo mismo
de vasos y botellas? —Sí. —¿Por qué
hiciste eso? —Porque es poco.
Estos casos nos revelan, la
existencia de una etapa anterior a la correspondencia propiamente dicha. En el
curso de ella, la evaluación se funda en la comparación global de las
longitudes (o densidades, etc.) de las colecciones consideradas. El ejemplo de
Car nos ilustra con particular claridad a este respecto: este niño considera,
en efecto, que una hilera de 5 vasos espaciados es más numerosa que una hilera
apretada de 6 botellas, pero
piensa además que estrechando la primera hilera “eso es poco” ¡de tal modo que
se hace equivalente para él a las 6 botellas! Es obvio que la
equivalencia entre dos colecciones no podría ser durable, puesto que depende
de factores variables, como la longitud de la hilera.
II.La segunda etapa: correspondencia término a término
pero sin
equivalencia durable entre las colecciones en correspondencia. Los niños de los que daremos ahora
algunos ejemplos son perfectamente capaces, en cambio, de efectuar la
correspondencia término a término entre las botellas y los vaso9. Pero si bien
declaran, en el momento de la correspondencia visual entre las dos hileras, que
hay tantos vasos como botellas, dejan de creer en esa equivalencia desde que se
separan las parejas de términos correlativos espaciando o estrechando los
términos de una de las dos colecciones: *
HOC (4; 3): —Estamos en un café. Tu
eres el mozo y tienes que sacar del armario un vaso para cada una de esas
botellas. El niño coloca con exactitud un vaso delante de cada botella sin
tener en cuenta los vasos que quedan: —¿Hay lo mismo? —Sí. Amontonamos ahora las botellas en un
grupo: —¿Hay lo mismo de botellas y de vasos? —No. —¿Dónde hay más? —Hay más vasos.
Ahora volvemos a poner las botellas frente a los vasos, en
correspondencia exacta de una a otro; luego amontonamos los vasos: —¿Hay lo
mismo de vasos y botellas? —No. —¿Dónde hay
más? —Hay más
botellas. —¿Por qué hay más
botellas? —(Con aire decidido) Porque sí.
MOG (4; 4) calcula con la mirada 9
vasos para hacer corresponder a las 6 botellas; los hace corresponder uno
por uno y aparta los 3 vasos restantes diciendo espontáneamente: —No, no estaba bien. —¿Y ahora hay lo mismo? —Sí. —(Amontonamos los vasos y espaciamos
un poco las botellas). ¿Hay la misma cantidad de vasos y botellas? —No. —¿Dónde hay más? —Hay más botellas.
GIN (4; 11): —Tienes que tomar de esa
bandeja la misma cantidad de vasos que de botellas, un vaso para cada botella.
—(Agarra todos). —¿Crees que es lo mismo? —No. —Entonces saca lo que está de más.
—(Hace la correspondencia término a término sólo con la mirada y deja sobre la
bandeja 6 vasos ¡pero sin
contarlos!). —¿Hay lo mismo? —Sí. —Pónlos
aquí de nuevo para ver si está bien. —(Los coloca exactamente delante de las
botellas). —Ahí está. —¿Es lo mismo? —Sí.
—(Amontonamos los vasos). ¿Hay lo mismo? —No. —¿Dónde hay más? —Las botellas son más. —¿Por qué? —Porque hay más aquí (muestra las 6 botellas alineadas). —(Espaciamos
los vasos y amontonamos las botellas). ¿Es lo mismo? —No. —¿Dónde hay más? —Aquí (los vasos).
GAL (5; 1) hace corresponder 6 vasos a 6 botellas. Apretamos los vasos: 2»
—¿Hay lo mismo de vasos y botellas? —No, eso es más grande (las botellas) y eso es más chico (los vasos). —(Hacemos la prueba
inversa). —Ahora hay más vasos. —¿Por qué? —Porque las botellas están todas ¡untas y los vasos desparramados. —Cuenta los vasos. —1, 2... 6. —Cuenta las botellas. —1, 2... 6. —¿No hay lo mismo entonces? —Sí. —¿Por qué dijiste que no había lo
mismo? —Porque las
botellas son chicas.
MUL (5; 3) hace la correspondencia
exacta entre las botellas y los vasos después de haberla calculado con la
mirada y de haber puesto 2 vasos de más.
—¿Había lo mismo? —No, había demasiados vasos. —¿Y ahora? —Sí, hay lo mismo. —(Apretamos los vasos y distanciamos las botellas). ¿Hay lo mismo? —No, porque es más grande. —¿Sabes contar? —Sí. —¿Cuántos vasos hay? —Seis. —¿Y cuántas botellas? —Seis. —¿Entonces hay la misma cantidad de
vasos que de botellas? —Hay más donde es más grande.
OS (5; 10) efectúa una
correspondencia inmediata: —¿Hay lo mismo de vasos y de botellas? —Sí, ya conté. Amontonamos los vasos: —¿Hay lo
mismo? —No. —¿Por qué? —Porque acá es mucho (botellas) y acá es poco. —(Apretamos las botellas y
distanciamos los vasos). ¿Ahora hay lo mismo? —No. —¿Por qué? —Porque aquí es mucho (vasos) y aquí es poco.
FU (5; 9) vierte el contenido de las 6 botellas en 6 vasos y coloca éstos delante de las
botellas vacías. —¿Hay la misma cantidad de vasos que de bo- tellás? —Sí. —(Amontonamos las botellas delante
de los vasos). ¿Hay lo mismo?
— No. —¿Dónde hay más? —Hay más vasos. —(Hacemos al revés). ¿Y ahora?
— Hay más botellas. —¿Cómo se puede hacer para tener la
misma cantidad?
FRA (6; 3). Tiene la misma reacción: cuando
se amontonan los vasos, dice que hay más botellas, y recíprocamente: —Hay más porque está más separado. Cuando al final se le dice: “Haz que
haya lo mismo”, restablece la correspondencia basándose en el contacto
espacial de los términos.
Con esta fisonomía se presentan
los casos de la segunda etapa. Constatamos primero que todos estos niños son
capaces de efectuar la correspondencia término a término. Pero —y en ese fenómeno queríamos insistir—
no bien se suprime la correspondencia intuitiva o visual, o sea, basada en un
contacto óptico y espacial entre cada botella y cada vaso, y se amontona en un
grupo uno de los conjuntos dejando la otra hilera espaciada, la equivalencia
cuantitativa e incluso la correspondencia cualitativa desaparece a los ojos
del niño. Todo ocurre como si para él la cantidad dependiera menos del número
(noción que, aceptada esta hipótesis, conservaría un carácter puramente verbal,
aun cuando el sujeto cuente correctamente) o de la correspondencia término a
término entre objetos discretos, que del aspecto global deja colección y
especialmente del espacio ocupado por la serie. Incluso Mul por ejemplo, que
sabe contar, estima que “hay más donde es más grande” aun cuando constata que
los vasos amontonados comportan exactamente el mismo número de elementos que la
hilera de botellas, o sea, 6 unidades.
¿Pero no podría objetarse entonces
que hay un malentendido en el uso de las palabras? En este caso, el niño, aun
admitiendo que el número de las botellas y el de los vasos sigue siendo el
mismo cuando se agrupa en un montón una de las colecciones, respondería, no obstante, que “hay más” en un lado,
pero sólo para expresar simplemente la idea de que la forma de la colección ha
cambiado y que el espacio ocupado es más grande. Precisamente para responder a
esta objeción, y porque es difícil rechazar con palabras la posibilidad de un
malentendido verbal, multiplicaremos las situaciones y los ejemplos en estos
dos capítulos. Por tanto, sólo a medida que vayamos examinando los nuevos
hechos, podremos decidirnos por una de las dos interpretaciones.
Desde ya, sin embargo, es necesario
que hagamos las siguientes observaciones. En primer lugar, si bien es difícil
encontrar expresiones claras entre los 4 y los 5 años para expresar la
equivalencia cuantitativa, no tenemos tampoco ninguna prueba de que un niño de
5 años como Mül emplee en general los términos “seis vasos” o “seis” en el
mismo sentido qne nosotros. Todo lo que alcanzamos a ver es que Mül sabe
aplicar a los objetos los seis primeros nombres de los números, es decir, que
sabe poner en correspondencia palabras y vasos, como vasos y botellas. ¿Pero es
ello una prueba de que esta enumeración verbal exprese una cuantificación mejor
desde el punto de vista del niño que el espacio ocupado, y de que la atribución
de las cifras a los objetos responda a la pregunta por el “cuánto” en un
sentido realmente numérico? Evidentemente, no tenemos ningún derecho para
afirmarlo, puesto que también sería posible concebir que la correspondencia
entre los nombres de los números y los objetos fuera en este nivel una simple
correspondencia verbal, sin que en realidad el niño posea las nociones
necesarias para la constitución del número mismo, definidas por la permanencia
y la equivalencia de los conjuntos independientemente de la disposición de los
elementos que los componen. Vemos así que el argumento extraído del lenguaje se
desvirtúa fácilmente, y que sería prudente extraer de él algo que no fuera la
simple constatación de una discordancia entre la atribución de nombres (de “cifras”)
y la intuición visual.
En segundo lugar, cuando el niño
expresa una variación cuantitativa,
no siempre se limita a decir “hay más” o “hay menos”, lo cual podría
hacer creer en una evaluación puramente espacial, sin significación respecto
de las cantidades discontinuas, sino que precisa con frecuencia (Hoc, Mog, Gm,
Dn, Fu, etc.) que “hay más vasos” o “hay más botellas”. Os dice: aquí hay mucho
y aquí hay poco”. Gal (que en oposición a Mül, se convence finalmente de la
equivalencia de las dos colecciones al descubrir que tienen el mismo número 66) nos hace comprender bien la
cuestión: la expresión inicial “es más grande” se traduce en seguida por “hay
más vasos”, y eso ocurre porque las botellas, una vez acercadas entre sí, “son
peque- **as * ¿Qu¿ puede significar esta última
afirmación sino que el niño esperaba una disminución de la cantidad misma y
que, al encontrar, en contra de su creencia, el mismo número, concilia esta
permanencia experimental del número 6 con la contracción del espacio
ocupado, reduciendo el valor mismo de los elementos evaluados?
En tercer lugar, “y éste nos parece
el argumento decisivo— el modo como llega a la respuesta justa muestra
claramente en qué consistía el razonamiento del niño hasta entonces. Veremos
en efecto cómo en la tercera etapa el niño descubre y declara explícitamente
que el hecho de estrechar o de espaciar los elementos no modifica en nada su
número, lo cual constituye, precisamente, la conquista propia de este nivel superior;
antes de ella, las modificaciones introducidas en el espacio ocupado se
presentaban al niño ligadas a la cuantificación de los elementos mismos.
III.La
tercera etapa: la correspondencia término a término y equivalencia durable de las colecciones
en correspondencia. Presentamos dos ejemplos de respuestas correctas que nos permitirán
hacer esa comparación con las soluciones inferiores:
PEL (5 años 1/2) comienza por colocar 5 vasos frente
a 6 botellas, y después añade un vaso: —¿Es
lo mismo? —Sí. —¿Y ahora?
(estrechamos los vasos). —Sí, es la misma cantidad de vasos. —¿Por qué? —Eso no cambia nada. “¿Y así? (alineamos las botellas y
distanciamos los vasos). —Sí, hay lo mismo.
LAU (6; 2) h ace corresponder 6 vasos a 6 botellas. Amontonamos los vasos:
¿Sigue habiendo lo mismo? —Sí, hay lo mismo de vasos. Usted lo único que hizo fue apretarlos así,
pero es lo mismo. —¿Y ahora hay " más botellas
(amontonada*) o más vasos? (espaciados). —Hay siempre lo mismo. Usted no hizo
más que ponerlas juntas (las botellas).
Vemos que para estos niños los
conjuntos, una vez puestos en correspondencia unívoca y recíproca, y
equivalentes a causa de esta correspondencia, siguen siéndolo después,
cualquiera, sea la disposición de los elementos. Esto es lo que Lan indica de
la manera más clara, como si quisiera marcar la diferencia que lo separa de la
etapa anterior: los vasos conservan el mismo número si “lo único que se hace
con ellos es apretarlos”, etc.
En resumen: el sentido de estas respuestas es que las cantidades
perm«- uecen equivalentes si se modifica el espacio ocupado, lo cual muestra suficientemente
que la cuestión, para el niño, residía precisamente hasta entonces en saber si
el número variaba con la figura: queda así constituida la operación de la
correspondencia biunívoca y recíproca, más allá de la simple comparación
intuitiva u óptica.
Se hace posible, pues, ahora,
interpretar la significación de las tres etapas que caracterizan esta
construcción, o, por lo menos, enunciar las hipótesis que se verificarán en el
curso de las experiencias siguientes.
Respecto de la primera etapa, su
significación es evidente: en la estimación de las colecciones de objetos, el
niño se contenta con una especie de comparación de conjunto o de relación
global, sin correspondencia término a término, y basada en una simple
evaluación espacial (longitud de las hileras, etc.). La tercera etapa presenta
también un sentido perfectamente claro: correspondencia biunívoca y recíproca
con equivalencia durable de las colecciones en correspondencia. Teniendo en
cuenta esto, para interpretar la segunda etapa, basta, al parecer, con
restablecer la continuidad entre las otras dos, lo cual viene a ser lo mismo
que aceptar tal como se dan las reacciones de los niños de ese nivel, sin
querer traducir sus pensamientos en conceptos superiores: la equivalencia
cuantitativa entre dos conjuntos se manifiesta, sí, para ellos, en una
correspondencia término a término, pero de orden perceptivo, por así decir, o
intuitivo, y que supone en consecuencia un contacto percibido entre los
términos puestos a corresponder. Ese contacto es, en este caso particular, de
orden visual, pero podría ser acústico, táctil, etc. Y a causa de esa misma
restricción, es suficiente con que los objetos pierdan este contacto término a
término para que se rompa la correspondencia, y sólo le queda entonces al
niño, par? evaluar las dos colecciones, el criterio de la etapa anterior, es
decir, el criterio global y espacial: como dice Mül, que sin embargo sabe
contar hasta seis: “hay más donde es más grande”.
¿Qué significa entonces la expresión
“hay más” en un niño que sabe, no obstante, que hay seis vasos y seis botellas?
De una manera general ¿qué quiere decir el niño con expresiones como “hay más
vasos” o “aquí hay mucho y aquí hay poco”? Sería absurdo atribuirles la idea de
que el número mismo de los objetos varía, ya que toda nuestra interpretación
va encaminada precisamente a afirmar que no poseen todavía la noción del nli-
mero. Por otro lado, y por la misma razón, ello no puede significar simplemente
que el espacio aumentó mientras el número permaneció igual, por lo mismo que la
idea del número no se ha construido todavía. La única manera de interpretar el
hecho es, pues, admitir una especie de indiferencia- ción entre el número y el
espacio ocupado, o sea, —repitámoslo una vez más— una evaluación global, y no
analítica todavía, la única evaluación analítica que es accesible- al niño
cuando la correspondencia es visual o de orden perceptivo. Es lo que expresa
muy bien Fu cuando declara que para restablecer la correspondencia entre seis
vasos juntos y seis botellas separadas, es necesario separar los vasos entre sí
o añadir otros, como si las dos soluciones fueran igualmente válidas.
De esta manera, se plantean dos
problemas. £1 primero es el pasaje de la cuantificación global basada en
relaciones perceptivas de longitud o de espacio ocupado a la correspondencia
término a término de orden intuitivo; el segundo es la transformación de esta
correspondencia intuitiva en una correspondencia operatoria con equivalencia
durable. Pero antes de pasar a discutir estos problemas con provecho,
necesitamos nuevas experiencias.
§2. LA
CORRESPONDENCIA ENTRE LAS FLORES Y LOS FLOREROS O ENTRE LOS
HUEVOS Y LAS HUEVERAS
Es evidente que cuanto mayor sea la cohesión de los objetos colocados en
correspondencia término a término, más durable será la equivalencia de las colecciones
en correspondencia. Es así que si se coloca una flor en un florero o un huevo
en una huevera, se asegura al niño uña unión más estrecha entre los términos
correlativos que si se coloca simplemente un vaso al lado de una botella: el
contenido que se introduce en el continente es para él más complementario que
lo que puede serlo un vaso respecto de una botella colocada delante. Y una vez
que se hayan sacado las flores y hiievos para amontonarlos en un grupo, será
menor el esfuerzo del niño para comprender que la cantidad de flores o de
huevos permanece equivalente a la de los floreros o las hueveras.
Esta circunstancia es preciosa desde
dos puntos de vista. Primero, porque constituye un argumento más a favor de lo
bien fundado de nuestras interpretaciones: que los mismos niños respondan mejor
a las mismas preguntas cuando la correspondencia es intuitivamente más
estrecha, quiere decir que no hay malentendido verbal, sino que la
correspondencia es más o menos cuantitativa según el contenido de los problemas
propuestos. Además, esta diferencia en la facilidad de las respuestas nos pone
en condiciones de analizar mejor estas últimas que si la incomprensión del
niño fuera general.
La técnica adoptada'es la siguiente. En el caso de las flores y los
floreros, se empieza por despertar el interés del sujeto con un pequeño juego:
“¿Qué vamos a poner en esos floreros? •—Flores. —Entonces hay que ir al jardín
a buscar flores, una flor para cada florero, lo mismo (o lo “mismo mucho”) de
flores que de floreros”. Se coloca delante del niño cierto número de flores,
superior al número de floreros, y se observa la manera en que él efectúa la correspondencia:
puede, o bien colocar una flor delante de cada florero, o bien formar con
ellas una hilera más o menos apretada pero de la misma longitud. Después de
esto, se pide al niño que verifique la correspondencia, poniendo una flor en
cada florero: habiendo obtenido así la correspondencia término a término, se
vuelven a tomar las flores y se las dispone en ramos (o los floreros en un
grupo) y se le pregunta, como antes, si hay un número equivalente de unas y
otras. En cuanto a los huevos y a las hueveras, la técnica es la misma: el sujeto
debe preparar un número de huevos igual al de las hueveras que ve; luego,
después de introducir los huevos a título de verificación, se los saca y se los
reúne para ver si la equivalencia es durable. Es conveniente, además, arrimar
primero los huevos bien cerca de las hueveras, y después colocarlos a una
cierta distancia, para ver si el contacto óptico desempeña verdaderamente un
papel en el juicio de equivalencia.
I.La
primera etapa: comparación global sin correspondencia término
a término ni equivalencia
durable. Presentamos aquí
algunos ejemplos de los niños que, para constituir dos cantidades iguales, se
contentan con disponer las flores en una hilera cuya longitud es equivalente a
la hilera de los floreros:
FUN (4: 4) empieza tomando una por
una las flores mirando sucesivamente cada florero, pero no puede prolongar ese
método más allá de algunas unidades, procediendo en seguida a una estimación
global. —¿Hay lo mismo?
— Sí. —¿Quieres ver? —(Coloca las flores
en los floreros y comprueba que faltan 3 flores). —Faltan florea ahí (las añade). —¿Y ahora hay lo mismo?
—Sí. —Escucha: ahora vamos a sacar por un
momsnto las flores para cambiar el agua (apretamos los floreros y distanciamos
las flores). ¿Hay la misma cantidad de flores y floreros? —Hay más flores. —Pruébalo bien. —(Aparta los floreros).
—No, hay lo mismo. —(Apretamos de nuevo los floreros).
•—Hay más flores. —¿Por qué? —Porque hay una flor aquí (señala una flor que no está más
delante de un florero). —¿Crees que todas las flores van adentro? —Pienso que hay que sacar eso (las dos flores que desbordan la
hilera de los floreros). Voy a ponerlas en seguida (cuando va a hacerlo, comprueba que faltan las dos flores que él
sacó, y las vuelve a añadir). —Vamos a cambiar el agua ¿quieres? (Sacamos de
nuevo las flores y las apretamos entre sí). Si volvemos a poner estas flores
en los floreros ¿habrá lo mismo o no? —Creo que es lo mismo. No: hay
demasiados floreros. —Entonces, haz lo debido para que haya lo mismo. —(¡El acerca entre
sí los floreros!). —¿Crees que está bien así? —Sí, creo que está bien.
GUI (4; 4) hace una hilera apretada
de 13 flores enfrente de 10 floreros más distanciados, a pesar de que ya contó
éstos de 1 a 10. Como las hileras son de la misma longitud, Gui piensa que “hay
lo mismo” de flores y de floreros. —¿Entonces puedes poner las flores en los
floreros? —Sí. Las pone, y sobran tres flores.
Sacamos las flores y las amontonamos delante de los floreros: —¿Hay lo mismo de
flores y de floreros? ■—No. —¿Dónde hay
más? —Hay más floreros. —Y si volvemos a poner las flores en
los floreros ¿habrá una flor en cada florero? —Sí. —¿Por qué? —Porque hay bastantes. —(Apretamos los floreros y
espaciamos las flores). ¿Y ahora? —Hay más flores... etc.
En cuanto a los huevos y las
hueveras, he aquí tres ejemplos de reacciones de este nivel, de las cuales las
más primitivas no alcanzan (como Fun con las flores) ni siquiera a la idea de
una vuelta necesaria a la situación inicial:
FRA (4; 3): —Toma los huevos que se
necesiten para esas hueveras, ni mas ni menos, un huevo para cada huevera. (El
niño construye una hilera de la misma longitud, pero que contiene muchos más
huevos). —¿Hay lo mismo de huevos y de hueveras? —Sí. —Si es así, coloca de nuevo los
huevos en las hueveras para ver si es verdad. —(Lo hace). —¿Es lo mismo? —No. —¿Y ahora? —Si (saca los elementos
de más). —Ahora vamos a sacar todos los huevos (se los amontona delante de las
hueveras). ¿Ahora es lo mismo? No. —¿Por qué?
—
Hay mas hueveras. —¿Hay huevos bastantes para las hueveras? —No sé.
—
(Acercamos entre sí las hueveras y desparramamos los huevos). Mira.
¿Hay ahora lo mismo de huevos y hueveras? —.Yo, hay más huevos. —¿Hay las hueveras suficientes para
estos huevos? —No, no sé.
ZU (4; 9) comienza también por
colocar delante de las hueveras una hilera apretada de huevos, pero de la misma
longitud. Pone luego los huevos dentro de las hueveras apartando lo que sobra.
Después de esto, saca por propia iniciativa los huevos y los coloca delante de
las hueveras, en un puñado: —¿Hay lo mismo de huevos y de hueveras? —No, hay muchas hueveras y menos huevos. —¿Hay huevos bastantes para las
hueveras? —Yo. Sacamos todos los huevos y dejamos solamente 4 (para 7
hueveras) en una hilera muy distanciada- —¿Hay huevos bastantes para estas
hueveras? —Sí fia longitud de las hileras es la
misma) —Pónlos tú mismo para ver. —{Los pone y parece muy sorprendido de que
falten algunos). —¿Y ahora hay lo mismo? (se han sacado los 4 huevos y se ha formado una hilera de
la misma longitud que la que forman las 7 hueveras, pero formada por 12
huevos].—Sí. —¿De veras? —Sí. —Si los
ponemos en las hueveras ¿sobrarán algunos? —.Yo, van a ir todos adentro.
Haz^ la prueba. —(Queda de nuevo muy
sorprendido) L —¡Todavía sobran algunos. Colocando solamente 3 huevos, muy distanciados, frente a una
colección de 7 hueveras, Zu responde correctamente qne "quedarán hueveras
vacías”, ¡pero con 5 huevos espaciados cree de nuevo que habrá correspondencia
exacta!
A Vemos que estos niños no llegan por sí mismos a la correspondencia
termino a termino, y no llegarían tampoco a descubrirla si no fuera porque a
ello los obligan las relaciones de continente a contenido existentes entre los
floreros y las flores y entre las hueveras y los huevos. En lo que se refere a
la equivalencia de los dos conjuntos, se constata que se funda enteramente en
la comparación perceptiva de las longitudes de las hileras; basta, en efecto,
con estrechar o distanciar los elementos de una de las colecciones para qne no
se la conciba ya como equivalente a la otra. Así, Fum, despues de haber
colocado una flor en cada florero, llega incluso a creer que, una vez sacadas
fuera y dispuestas separadamente, las flores no corresponden ya término a término
con los floreros, y hasta suprime al- gynas de ellas de la hilera para
restablecer la correspondencia. Así también Zu lleva a tal extremo la
evaluación basada en el espacio ocupado, que se propone hacer entrar
sucesivamente 4, 12 y 5 huevos en las 7 hueveras, y no considera en cambio que
sea posible hacerles corresponder los 7 huevos que él mismo ha introducido en ellas, y que
después ha sacado afuera y dispuesto en una hilera apretada. Estamos aquí ante
conductas que causan asombro, y que nos muestran hasta dónde puede llegar la
indi- ferenciación de la cantidad discontinua y del espacio ocupado en esta
primera etapa. En este nivel, aun cuando la fuerza de la situación lleva a
establecer la correspondencia término a término, el niño, después de que se
deformado el aspecto perceptivo de una de las colecciones, duda de que se pueda
volver a esa correspondencia recurriendo a un restablecimiento del estado
inicial. Cuando, como en el caso de Gui, el niño cree en la posibilidad de una
vuelta a la situación inicial, es obvio que ello puede explicarse por un simple
recuerdo de la correspondencia previamente percibida, sin que . esto
constituya una prueba de que la equivalencia persiste: Gui, en efecto, estima
que "hay más flores” cuando se estrecha la distancia entre los floreros,
y viceversa.
II. La segunda etapa: correspondencia término a
término, pero intuitiva y sin equivalencia durable.
Los niños de la segunda etapa se diferencian de
los de la primera en que son capaces de efectuar de golpe la correspondencia
término a término, pero sin deducir de ahí una equivalencia cuya duración se
mantendría independientemente de la disposición espacial de los elementos.
Presentamos aquí ejemplos para las flores y los floreros:
DAL (4; 6) después de examinar los 10
floreros, toma 9 flores, creyendo haber obtenido así la correspondencia exacta.
Cuando llega al séptimo florero, se da cuenta de que no tendrá bastantes flores
y toma una más. Cuando él ha introducido las flores en los floreros, sacamos
las flores y las amontonamos:
— ¿Hay lo mismo de flores y floreros? —No. —¿Por qué? —Hay más vasos.
— ¿Y ahora? (se hace la operación
inversa). —Hay más
flores.
SIM (5; 7) pone una flor en cada
florero. Las ponemos afuera y las reunimos en un grupo: —¿Hay lo mismo de
flores y floreros? —No. —¿Por qué?
— Hay más floreros. —¿Hay las flores bastantes para
estos floreros? —Sí. —(Hacemos la
operación inversa). ¿Y ahora? —Hay más flores. —¿Hay los floreros suficientes para flores? —Sí. —¿Entonces es lo mismo mucho? —No, aquí (floreros) hay más, porque está separado.
Y
con los huevos y las hueveras:
SIM (5: 7) hace corresponder 6 huevos a 6 hueveras y los pone dentro de éstas.
Los sacamos y espaciamos los huevos. —¿Hay lo mismo de huevos y hueveras? —No. —¿Dónde hay más? —Aquí (huevos). —Si queremos poner un huevo
en cada huevera ¿lo podemos hacer? —Sí... No sé.
DTJM (5; 8) hace corresponder
también 6 huevos a 6 hueveras y él mismo los pone dentro de las hueveras. Cuando sacamos
afuera los huevos y los agrupamos delante de las hueveras. Dum estima que ya no
hay lo mismo. -¿Por qué? —Porque usted hizo así (gesto de agrupar). —¿Hay huevos bastantes para las hueveras? —No. —(Apretamos las hueveras y
espaciamos los huevos). ¿Y ahora? —No, no está bien porque hay más huevos.
Estos pocos casos bastan para
confirmamos en la existencia de una segunda etapa, situada entre la de la no
correspondencia espontánea y la de la equivalencia durable: hay correspondencia
término a término inmediata, pero es puramente intuitiva, puesto que la
transformación de la configuración del conjunto hace cesar inmediatamente la
equivalencia. Por otra parte, si algunos sujetos de esta etapa creen en la posibilidad
de una vuelta al estado inicial, no lo conciben como necesario: Sim, por
ejemplo, afirma que las flores apretadas o espaciadas de la hilera
corresponderán cada una a una hilera; pero la seguridad con que afirma esto ya
no es la misma cuando pasa a hacer corresponder los huevos y las hueveras. Aun
más: aun cuando el niño admite la posibilidad de una vuelta al estado inicial,
no deduce de ahí la invariancia de la equivalencia en el intervalo: el mismo
Sim considera que “hay más flores” que floreros cuando se han acercado estos
entre sí, sin que esto se contradiga para él con el hecho de que pueda poner de
nuevo una flor en cada florero, y cuando se le pregunta: “¿Entonces hay lo
mismo?”, especifica que “no, aquí hay más porque está más separado”. No hay
ejemplo mejor para demostrar que para el niño de este nivel la cuantificación
no se reduce ni al número (la mayoría entre los sujetos saben contar hasta 10) ni a la correspondencia biunívoca
y recíproca, sino a una correspondencia intuitiva estrechamente ligada a la
configuración perceptiva del conjunto analizado.
III.Respuestas intermedias entre la segunda y
tercera etapas y res
puestas de la tercera
etapa: correspondencia operatoria con equivalencia durable.
El interés de las presentes experiencias reside en el hecho de que,
por ser un poco más fáciles que las de los vasos y las botellas, encontramos en
ellas casos intermedios que no llegan a resolver el problema de las botellas
pero que consiguen poco a poco resolver los de los floreros y las hueveras; y
esto permite analizar mejor el mecanismo de la solución correcta. Presentamos
aquí algunos ejemplos de estos casos de transición:
_ DU (5; 8) pertenece
a la segunda etapa en lo que concierne a la experiencia de los vasos y las
botellas (ver I). En cuanto al experimento de las flores pone estas en
correspondencia exacta con los floreros, y cuando las sacamos para agruparlas,
empieza por decir, que “hay más floreros”. Cuapdo se hace la operación inversa,
dice también: “Hay más flores”. Pero en seguida presentamos a Du un ramillete
nuevo de flores de otro color: —Vas a poner también cada una de estas en cada
florero. —(Lo hace; sacamos las flores y las agrupamos delante de los
floreroA). —¿Sigue habiendo ahora lo mismo de flores y floreros? —Sí. —¿Por qué? —Porque usted las había puesto todas
ahí (en los floreros).
^*ero cuando estrechamos los vasos y espaciamos las flores a una
cierta distan- cía, vuelve a caer en su error.
MOU (5; 8), cuando las flores están agrupadas,
dice también que hay tantas flores como floreros. Pero cuando se estrechan los
floreros, los considera más numerosos: “Hay más”.
OS (5; 10) pertenece también a la
segunda etapa en lo que concierne a los vasos y las botellas. En el experimento
de las flores, oscila también entre las soluciones de la segunda y tercera
etapas. Cuenta primero 10 floreros, y luego, a medida que va contando 10 flores, las va colocando en los
floreros. Ponemos afuera las flores y las estrechamos cerca de los floreros:
—¿Es lo mismo mucho? —Sí, porque hay diez (floreros) y aquí (flores) hay diez. —(Estrechamos los floreros dejando las flores a cierta distancia).
¿Y ahora? —No, aquí (los floreros) hay poco. —Mira, ahí tienes flores rosas. Toma
la cantidad necesaria para ponerlas en los floreros (éstos están de nuevo
alineados). —(Cuenta cautelosamente y las coloca en los floreros). —(Sacamos
fuera de los floreros las flores rosas, esparciéndolas del otro lado de
aquellos, quedando las flores del lado del niño). —¿Hay lo mismo de flores rosas
y de azules? —Sí, hay 10 aquí y 10 allí. —¿\ lo mismo de flores rosas y de floreros? —No.
Añadimos algunas reacciones más,
semejantes a las anteriores, y observadas en ocasión de la experiencia de los
huevos y las hueveras (bay que observar aquí el hecho de que en varios casos el
niño cree en la equivalencia cuando una de las colecciones se encuentra
dispuesta en una hilera apretada inmediatamente cerca de la otra, mientras que
el sentimiento de equivalencia disminuye con la distancia):
GAL (5; 1), cuyas respuestas hemos
visto ya en §1, hace corresponder de entrada 6 huevos a 6 hueveras. Cuando ponemos afuera los
huevos para agruparlos delante de las hueveras, cree todavía en la
equivalencia: —¿Por qué dices que es lo mismo? —Porque sí. —(Dispersamos los huevos). ¿Es lo
mismo también ahora? —No. —¿Por qué?
—Porque acá están
desparramados v allí (en las hueveras) van justos (están apretados). —Pero si los
volviéramos a poner adentro ¿habría lo mismo de huevos y de hueveras? —Sí.
Puede apreciarse el interés de estos
casos intermedios. De una manera general, estos casos marcan el comienzo de la
liberación de la correspondencia operatoria respecto de la correspondencia
óptica intuitiva. Así por ejemplo Du, después de que ha negado la equivalencia
cuando la correspondencia término a término ya no es visible, acaba por
comprender que las flores dispuestas apretadamente cerca de los floreros son
tan numerosas como éstos, y aduce para ello esta excelente razón: que “se las
ha puesto todas allí”, es decir, que las flores han estado contenidas antes en
los vasos. Sin embargo, no puede aplicar el mismo razonamiento cuando se hace
la operación inversa, es decir, cuando se distancian las flores, y cree que son
más numerosas porque están alejadas entre sí. Mou atribuye a la cantidad de las
flores la misma constancia, pero cree en cambio que los floreros aumentan en
número cuando se los acerca entre sí (tenemos que observar aquí que el criterio
de la cantidad no es ya el espacio ocupado sino la densidad). En lo que se
refiere a Os, este niño nos presenta el caso extraordinario de poder
identificar el número de los floreros y de las flores cuando el experimentador
acerca éstas, y no cuando se las distancia; y además, de identificar el número
de las flores rosas y el de las flores azules, que están ambas espaciadas, y no
el número de las flores rosas espaciadas y el de los floreros todos juntos. El
motivo de esta conducta es, evidentemente, que las flores dispuestas juntas
cerca de los floreros le hacen recordar que estaban dentro de ellos, en tanto
que las flores alejadas de ellos pierden ese carácter a causa de la falta de
contacto óptico.
Esto es lo que se observa cuando, en el caso más simple de Os, éste
cree en la equivalencia de las hueveras y de los huevos cuando éstos están reunidos
justo al lado de aquéllas, pero deja de creer en esa equivalencia cuando los
huevos están a una cierta distancia. Del mismo modo Gal, cuando piensa en la
posibilidad de devolver los huevos a las hueveras, muestra claramente hasta qué
punto conserva la creencia en la equivalencia perdiéndola cuando los huevos
están demasiado alejados. En resumen: el niño empieza a liberarse de la
percepción para constituir una correspondencia con equivalencia propiamente
intelectual. Cuando los huevos están juntos pero cerca de las hueveras, por más
que se altere la configuración de las dos colecciones, el contacto óptico
conserva su poder para mantener viva en el niño la correspondencia y hacerle
admitir la equivalencia, pero cuando los huevos están alejados entre sí de las
hueveras, la equivalencia se rompe, porque la operación de correspondencia no
está liberada todavía de la percepción.
En los casos típicos de la tercera
etapa, la operación se libera finalmente de la intuición y el niño llega por
ello mismo a la reversibilidad y la equivalencia:
FET (5; 5) hace una hilera de 10
flores delante de los floreros, y pone luego las flores dentro de éstos.
Sacamos las flores afuera y hacemos con ellas un montón: —¿Hay lo mismo
todavía? —Sí. —¿Y así (espaciadas y lejos de los
floreros). —Sí. —¿Por qué?
—Porque estaban ahí
adentro.
BET (5; 8). Después que haya hecho la
correspondencia sin contar, hacemos con las flores un montón lejos de los
floreros: —¿Hay lo mismo? –Sí. -¿Por qué? –Porque está bien (= porque se las
puede meter dentro)
Y con los huevos apretados delante de los vasos: —¿Sigue habiendo lo
mismo? —Sí. —¿Por qué? —Porque se hizo así (gesto de estrechar). —¿Y ahora?
(huevos desparramados y vasos juntos). —Sí. —¿Por qué? —Si usted pone los huevos, aunque sea
separados, es lo mismo.
PIT (6; 11). Las mismas reacciones. Cuando
los huevos están distanciados, siguen siendo equivalentes "porque todos van en las
hueveras".
Al leer estas respuestas tan simples,
nos preguntamos cómo es posible que el niño haya tardado tanto en comprender
la equivalencia durable de las colecciones en correspondencia. Sin embargo, la
diferencia entre estos sujetos y los anteriores es esencial, puesto que marca
el primado de la operación propiamente dicha sobre la percepción.
En efecto: hasta este momento, la
única cuantificación que estaba al alcance del niño se fundaba en la
transformación de orden espacial y perceptivo, mientras que la correspondencia
término a término misma no era cuantitativa. Dicho en otras palabras, las
cualidades que el niño percibe sólo dan lugar en las primeras etapas a simples
relaciones cuantitativas (más o menos “grande”, “largo”, “pequeño”, “apretado”,
etc.) sin que haya operaciones propiamente dichas. Estas cualidades no están
coordinadas o multiplicadas entre sí: lo único que el niño ve, por ejemplo, es
que si se aumenta el espacio entre los elementos de una hilera, su número disminuye
por unidad de longitud, y que si se los acerca, se aumenta ese nú mero relativo. Es así que en la
primera etapa el niño sólo se guía, por* juzgar acerca de la cantidad, por la
mayor o menor longitud de la hilera, v no multiplica esta relación con las de “colocado
enfrente”, o sea, no constituye correspondencias, ni siquiera intuitivas (y
podemos definir la correspondencia término a término, en el nivel intuitivo,
como resultante., precisamente, de la multiplicación de las relaciones de
“misma distancia” entre N1 y N2 y entre N’1 y N’2; entre N’ 2 y N’ 3 y entre N2 y N3,
etc., por las relaciones de “colocado enfrente” que existen entre N1
y N’1; entre N2 y N’2...). En el nivel de la segunda
etapa, el niño ya se ha vuelto capaz de hacer esta coordinación, pero en un
plano puramente intuitivo, es decir, que sabe efectuar una correspondencia
euando los términos correlativos se sitúan frente a frente. Sin embargo, basta
con cambiar la disposición de una de las colecciones, sea acercando, sea
espaciando sus elementos, para que el sujeto deje de creer en la equivalencia.
El motivo de ello es que la correspondencia cuantitativa no supone solamente la
correspondencia simplemente perceptiva, aun cuando ésta fuera cualitativamente
exacta, sino, además, una operación superior que es la igualación de las
diferencias, es decir, una coordinación de los desplazamientos de los elementos
en virtud de la cual esos desplazamientos se compensen volviéndose reversibles.
Mientras el niño no llegue a esta última multiplicación, que es de orden
matemático, y no ya solamente cualitativo, sus correspondencias no conducirán a
una equivalencia durable. Por eso, el hecho de que los niños, aun creyendo que
las flores reunidas en un montón son menos numerosas que los floreros con los
cuales aquéllas han estado en correspondencia, admitan no obstante que se las
podría poner una por una en los floreros, no indica la existencia de una
operación lógicamente reversible, sino una simple previsión de una repetición
empírica, que está exenta de esa coordinación de las relaciones que es la única
que puede otorgar a la repetición un carácter necesario. Esta multiplicación se
opera precisamente en el curso de la tercera etapa, y ello ocurre gracias a
que el niño descubre que toda transformación espacial en la disposición de los
elementos puede corregirse por medio de una operación inversa. Esto es lo que
expresan Fet y Bet, cuando al justificar la equivalencia establecida entre las
flores reunidas o distanciadas y los floreros, dicen simplemente: es lo mismo
porque ellas “estaban ahí dentro” o “porque eso va ahí” (ahí dentro) o “si
usted pone los huevos, aunque sea separados, es lo mismo”, y “todos van en las
hueveras”. Estas razones no tenían ningún valor para los niños de las etapas
anteriores, y sólo adquieren su significación cuando se llega a comprender la
reversibilidad, y cuando se la llega a comprender como fuente de la
equivalencia. Vemos asi cómo el primado de la operación sobre la intuición
perceptiva resulta de la reversibilidad progresiva del pensamiento: la
percepción es por esencia irreversible, pero a medida que se va resolviendo en
juicios de relación, las operaciones reversibles así constituidas son capaces
de dominarla y remplazar así la correspondencia intuitiva por una correspondencia
operatoria y cuantitativa, que asegura la equivalencia necesaria y durable de
las colecciones puestas en correspondencia, oponiéndose a la apariencia de la
percepción inmediata.
Y
MERCANCIAS
Una vez estudiada la correspondencia
por así decir estática de objetos complementarios yuxtapuestos o contenidos
uno en el otro, se hace indispensable estudiar la correspondencia dinámica
representada por el intercambio de uno con uno. Empezaremos el análisis
valiéndonos de una técnica que es la simple prolongación de la que hemos
empleado en las últimas experiencias. Se anuncia al niño que se va a jugar al
vendedor y, a ese efecto, se le dan algunos centavos para comprar flores, o
bombones, etc., dejando sentado que cada objeto vale un centavo. Primero se
puede hacer prever al niño cuántos objetos podrá comprar (y es aquí donde el
método podrá ser el de la comparación global, o el de la correspondencia
término a término, o incluso el de la numeración). Después se hace el intercambio
de uno con uno y se averigua si para el niño hay o no equivalencia de los
centavos y los objetos comprados. Pero, como estos métodos de correspondencia
equivalen a los que estudiaremos en el próximo capítulo. y como el problema
que nos interesa aquí es el de la equivalencia de las colecciones en
correspondencia, dirigiremos el análisis con preferencia a este último punto.
t
I.La primera etapa: comparación global y ausencia de
equivalencia, después del intercambio
de uno con uno.
Todos los niños de este primer nivel saben naturalmente intercambiar
uno con uno de manera correcta sus centavos con los objetos propuestos. Pero
son incapaces por una parte de prever, por correspondencia, la cantidad de
elementos que tendrán que intercambiar, y además no extraen la conclusión de
que las colecciones objeto del intercambio son equivalentes. He aquí tres
ejemplos: ‘
GUI (4; 4) enfrenta 5 flores y 6 centavos, luego hace el intercambio
de cada flor con cada centavo (añadiendo una flor a las 5 iniciales,
extrayéndola de la caja de reserva). Los centavos están alineados y las flores
agrupadas en un montón: —¿Que es lo que hemoso hecho? —Han cambiado. —¿Hay lo mismo entonces de flores y
de centavos? ■—No. ■—¿Hay más
en un lado? —Sí. —¿Dónde?
—Ahí (centavos).
(Hacemos el intercambio de nuevo, pero amontonando los centavos y haciendo una
hilera con las flores). —¿Hay lo mismo de flores y centavos? —No. —¿Dónde hay mucho? —Aquí (flores). —¿Y allí? Acentavos). —Menos.
MIC (4; 4) tampoco sabe efectuar
correctamente por anticipado la correspondencia entre las flores y Iqs
centavos. Intercambiamos uno coi? uno 6 flores y 6 centavos (aquellas están dispuestas
en hilera y éstos en un montón). —¿Hay lo mismo de flores y centavos? —No, hay más flores. —¿Por qué? —Porque las flores están más
separadas.
DUC (4; 6), como sus compañeros, sólo llega a
una estimación previa de tipo global. Intercambiamos luego 6 flores con 6 centavos desparramados: —¿Tenemos
lo msimo? —No, hay más
centavos. —‘-(Le
devolvemos el dinero y hacemos de nuevo el intercambio paralelamente al
amontonamiento de los centavos). ¿Y ahora? —No, hay más flores.
Sería inútil comentar estos casos sin
antes examinar los de la segunda etapa, que tienen en común con los últimos la
falta de creencia en la equivalencia durable.
II.La segunda etapa: correspondencia previa e
intercambio de uno
con uno, pero sin equivalencia durable.
El único progreso efectuado en la segunda etapa es, pues, la
estimación justa, por correspondencia visual, de aquello que habrá que
intercambiar para que la operación resulte lograda. Pero, a pesar de esta
previsión y de la confirmación experimental proporcionada por el intercambio
mismo, el sujeto, exactamente como los precedentes, no cree en la equivalencia
necesaria de las colecciones intercambiadas:
NIC (4; 1) cuenta 10 flores y 10
centavos, pero no totaliza cada colección en un número cardinal único:
—¿Cuántos centavos tenemos entonces? —Uno, dos, tres, cuatro... diez (enumeración de memoria). —¿Qué
puedes comprar con ellos? —(Intercambia un centavo con una flor, etc., hasta
10; pero nosotros hemos formado con los centavos una hilera, mientras que él
conserva las flores en la mano...)—¿Hay lo mismo de flores y de centavos? —Hay más centavos (pero ahora efectúa la
correspondencia espontáneamente, colocando cada una de sus flores delante de
cada centavo). ¡Ah, sí! es lo mismo. —(Amontonamos las flores). ¿Y ahora? —Hay más centavos. —(Amontonamos los centavos y
alineamos las flores). —¿Y ahora? —No, porque hay muchas flores.
LID (4; 5) enfrenta 4 centavos a 4
botones: —¿Hay lo mismo de centavos y de botones? —Sí, hay lo mismo. —Muy bien. Ahora vas a comprar
flores. Ahí están tus centavos (seis). Darás un centavo por cada flor.
—(Intercambiamos 6 flores con 6 centavos; éstos están alineados, en
tanto que las flores las tiene él en la mano). ¿Hay lo mismo de flores y de
centavos? —Sí, es...
No, no es lo tnis- mo. Aquí hay más (muestra las flores). —¿Podemos poner una flor delante de cada
centavo? —No, hay
demasiadas flores (hace la prueba prácticamente y descubre que la correspondencia es
exacta). Sí, es lo
mismo. —¿Quieres que empecemos
de nuevo? (Hacemos el intercambio una vez más, espaciando los centavos y
acercando las flores). —¿Saldrá bien así? —¡Va a haber demasiadas flores, ya
verás! (hace la
correspondencia, ¡y queda muy sorprendido de su resultado!).
PAR (5: 2): —Por cada flor, pagas un
centavo. ¿Cuántas flores puedes comprar con éste (1 centavo)? —L na. —¿Y con éstos (3)? —Por tres, tres flores, porque hay tres centavos. —Bien: vamos a comprar todo eso (él intercambia 6 centavos con 6 flores: los 6 centavos están
agrupados en un montón y las flores están alineadas). —¿Es lo mismo? :—A o. —¿Por qué? —Porque hay más flores. —¿Podría yo comprar
estas flores con estos centavos (los 6 centavos que nos dio
el niño uno por uno) ? —A o, sí. —¿Es lo mismo entonces? —No, hay más flores. —¿Y si pongo un centavo delante de cada flor (hacemos eso mismo con las
dos primeras flores para facilitar la comprensión)? —No, sobrarán flores.
FUR (5; 9) intercambia 7 centavos con
7 flores después de haber establecido correctamente la correspondencia 5 a 5.
Tiene en su mano las flores; los centavos están alineados delante de él. —¿Hay
lo mismo? —¡So, hay
muchos centavos y no muchas flores. —(Alineamos las flores apretándolas un poco más que los centavos).
—¿Hay lo mismo? —No, hay más centavos, hay uno que sobra.
— Cuenta las flores. —Siete. —Cuenta ahora los centavos. —Lino... siete. —¿Hay lo mismo entonces? —No, hay algunos que sobran. —Vamos a ver (comenzamos el
intercambio de uno con uno, que resulta exacto). —Entonces, ¿hay lo mismo?
—(Calla, evidentemente impresionado por la contradicción que descubre entre los
hechos y su propia convicción). —Si contáramos los centavos y las flores (ahora
éstas están más espaciadas) ¿habría que contar durante más tiempo, o no haría
falta? —Habría que
contar durante más tiempo las flores.
AUD (6; 7): —Vamos a jugar al florista. Ahí
están tus centavos. —(Cuenta correctamente). —Ocho centavos. —Cada flor cuesta un centavo.
¿Cuántas podrás comprar? —Ocho. —(Hacemos el intercambio de uno con uno. Aud conserva las flores en
su mano. Los centavos están alineados). —¿Hay lo mismo de flores y de centavos?
—No. Aquí (los centavos) hay más. —¿Por qué? —Está separado.
— ¿Se, podrá poner una flor arriba de
cada centavo? —Sí. —¿Entonces
es lo mismo mucho? —No, aquí (los centavos) hay más, porque está separado.
Estos pocos casos nos muestran con
suficiente claridad que el intercambio de uno con uno no es en modo alguno
suficiente para asegurar la noción cardinal de dos totalidades equivalentes
entre sí de modo durable.
Observemos primero que en lo que se
refiere a la equivalencia misma, no hay ninguna diferencia entre las reacciones
de la primera etapa y las de la segunda. Ahora bien: el hecho de que Gui, Mic y
Duc, que pertenecen a la primera etapa (y que antes del intercambio de uno con
uno no saben hacer corresponder objetos entre sí, y evalúan las cantidades por
el espacio ocupado) tampoco sepan, después del intercambio de uno con uno, que
las dos colecciones intercambiadas permanecen necesariamente equivalentes, no
tiene, en suma, nada de extraordinario. Pero lo verdaderamente notable es que
Nic, que hace espontáneamente la correspondencia para ver si los centavos y las
flores intercambiados son equivalentes; que Lid, que hace corresponder
correctamente en los ejercicios preliminares 4
centavos a 4 bombones; que Par, que prevé el intercambió de 3 con 3 en
términos numéricos, etc., sean incapaces, una vez hecho el intercambio de uno
con uno, de postular la equivalencia de las colecciones intercambiadas.
Los casos más curiosos a este
respecto son los de Par, y sobre todo los de Fur y Aud, por su empleo de la
numeración hablada. Par, por ejemplo, anticipa, antes de toda experiencia, que
se pueden comprar tres flores con 3 centavos, pero desde que se distancian las
flores, la equivalencia desaparece. La conducta de Fur es más clara todavía:
ante 7 centavos muy cerca uno de otro, y 7 flores esparcidas, cuenta el número
de flores y de centavos, constatando así la identidad numérica de las dos colecciones,
pero se niega a aceptar su equivalencia: “No, hay más centavos, hay uno que
sobra”. Del mismo modo, Aud cuenta 8 centavos, anuncia que va a comprar 8 flores, hace el intercambio y niega
la equivalencia: “Hay más, porque están separados”. Vemos hasta qué punto la
percepción de las cualidades espaciales tiene más fuerza aun que la numeración
verbal. Por eso retomaremos este problema en § 4.
En lo referente a la vuelta al estado
inicial, cuando el niño niega que haya equivalencia entre las flores
intercambiadas y los centavos, preguntamos al niño si se podría poner o volver
a poner una flor delante de cada centavo, o sobre cada uno de ellos. Se
constata también aquí que casi todos los sujetos de esta etapa persisten en la
negativa:- “habrá demasiadas flores, ya verás”, dice Lid; “no, sobrarán
flores”, dice Par. Solamente Aud lo admite, pero sin deducir de ahí la
equivalencia, aunque le falte poco para admitirlo.
III.Respuestas
intermedian y tercera etapa: equivalencia momentánea, después durable.
Presentamos
primero dos respuestas intermedias entre la segunda y tercera etapas:
PIT (6; 11). Intercambiamos 10 flores
con 10 centavos. Pit guarda las flores en su mano y los centavos quedan
alineados delante de él; —¿Hay lo mismo de flores y de centavos? —(En silencio,
alinea las flores delante de cada centavo para controlar). —Sí, hay muchas ¡lores, igual que los
centavos. —(Separamos
los centavos y amontonamos las flores). —¿Es lo mismo? —No, aquí (los centavos) hay más. —¿Y ahora (flores espaciadas,
centavos amontonados)? —No hay lo mismo. Hay muchas flores (vuelve a hacer espontáneamente la
correspondencia). —¡Ah, sí! es lo mismo. —¿No decías antes que había más flores? —Sí, pero estaban así (gesto de reunir los centavos).
FRAN (6; 3) cuenta los centavos que
se le dan. —¿Cuántas flores podrás comprar entonces, si cada flor cuesta un
centavo? —Diez. (—Hacemos el intercambio; las
flores las conserva él en la mano y los centavos quedan espaciados sobre la
mesa). —¿Hay lo mismo de flores y de centavos? —Sí. —¿Por qué?
— Porque es lo mismo. —(Hacemos de nuevo el intercambio;
los centavos están desparramados). —¿Hay lo mismo? —Sí. —(Apretamos los centavos y
espaciamos las flores). —¿Y ahora? —No. —¿Por qué? —Hay más allí (muestra los centavos apretados).
—¿Podemos esconder cada centavo abajo de cada flor? —Sí. —¿Entonces? —Hay lo mismo.
Estos dos casos de obtención de la
respuesta justa son altamente instructivos, y en especial las verificaciones
espontáneas de Pit, quien lucha visiblemente contra la apariencia sensible
valiéndose de operaciones en las que le resulta arduo creer abstractamente.
Fran, en cambio, llega finalmente a esta abstracción, es decir, a. la
movilidad de la operación como tal.
Estas son, finalmente, algunas de las
respuestas correctas:
GIN (4; 11) cuenta sus 10 centavos y
prevé que va a tener 10 flores. Después del intercambio, dice que ”es lo mismo”, cualquiera sea la figura de cada
colección, aunque no da razonen de ello.
DU (5; 8) después de intercambiar uno con uno hasta 10 (las flores quedan
en su mano y los centavos están desparramados); —¿Hay lo mismo de centavos y
de flores? —Sí. —¿Por qué?
—Porque ya se
acabaron (porque las dos
colecciones intercambiadas se agotaron al mismo tiempo), —(Apretamos los
cen tavos y espaciamos las flores). —¿Y ahora hay lo mismo? —Sí. —¿Por qué? —Porque ya terminamos todo.
LER (5; 8) después del intercambio, con las
flores en la mano: —¿tiay lo mismo? —Sí. —¿Por qué? —Porque esto va ahí (pone espontáneamente una flor
delante de cada centavo).
CLAV (5: 8)- La misma situación: —¿Hay lo
mismo? —Sí. —¿Estás seguro':
— Si. —¿Por qué? —Porque le di mis centavos.
Vemos que la equivalencia se ha hecho
evidente y lógicamente necesaria para los niños. Las razones aducidas para
justificar este postulado resultan interesantes debido a su carácter
operatorio: Bet aduce como razón principal la posibilidad de una correspondencia
unívoca y recíproca, y en consecuencia, la posibilidad de transformar de nuevo
el intercambio en correspondencia visible; para Du y Clan, la razón alegada es
el intercambio mismo, concebido como el agotamiento simultáneo de las dos colecciones:
“Le di mis centavos” o ‘‘porque ya terminamos todo”.
Concluyendo, puede decirse que la
experiencia del intercambio de uno con uno da los mismos resultados que la
experiencia de la correspondencia estática o visible de los objetos. Tenemos
aquí un resultado precioso para comprender la noción de correspondencia: por
sí solo, el famoso procedimiento del intercambio de uno con uno, en que tantos
autores lian querido encontrar el principio- de la cardinación, no conduce como
tal a la equivalencia necesaria de las colecciones intercambiadas. Para llegar
a ese resultado, el intercambio de uno con uno, como también la correspondencia
intuitiva, debe hacerse previamente operatorio, o sea, debe concebirse como un
sistema reversible de desplazamientos o relaciones.
§ 4. EL INTERCAMBIO DE UNO CON UNO CON NUMERACION HABLADA
Acabamos de ver a través los casos de
Par, Fur y Aud que la numeración hablada sólo parece ejercer una débil
influencia en el sentimiento de equivalencia provocado —o no— por la
correspondencia término a término. En los párrafos que preceden tuvimos ya la
oportunidad de señalar frecuentemente la falta de coherencia entre la
numeración aprendida y las operaciones que el niño es de hecho capaz de hacer.
Ha llegado el momento de examinar
sistemáticamente este punto. Es necesario determinar en primer lugar el límite
hasta donde el niño puede contar sin dificultad. Hacemos después la experiencia
anterior del intercambio de uno con uno, eligiendo un número de parejau de
objetos que sea inferior al límite de la numeración hablada del sujeto. Le
pedimos después que cuente los objetos que se le acaban de dar, y escondemos
en una mano los centavos que él nos ha dado a cambio (para que no pueda
contarlos); le pedimos después simplemente que adivine cuántos objetos están
escondidos.
Siguiendo este procedimiento, hemos
encontrado las mismas etapas que encontramos con las técnicas anteriores, sin
que la numeración hablada introduzca en ellas ningún cambio:
I.La
primera etapa: comparación global y falta de equivalencia a pesar del
intercambio de uno con uno. Por ejemplo:
RAS (3; 6) sabe contar solamente
hasta 4 ó 5. Le damos 2 centavos dicién- dole que nos dé un númerq igual de
bombones. Nos da 5 bombones, después 2. A cambio de 3 centavos, nos da 4
bombones, etc. Intercambiamos nosotros después -4 centavos con 4 bombones, uno
por uno. Cuando escondemos los bombones y le damos solamente 3, no piensa que
queda todavía uno escondido; y al revés, cuando le damos los 4 cree que falta
todavía uno.
BER (3; 11) cuenta correctamente
hasta 5, pero no sabe hacer corresponder una a otra dos colecciones que tengan
más de 2 ó 3 elementos. Intercambiamos uno por uno 3 centavos con 3 bombones y
dejamos los 3 centavos sobre la mesa. Sacamos uno diciendo: —¿Faltan centavos?
—Sí. —¿Cuántos? —... —¿Y ahora (queda
uno)? —No. —¿Y ahora (sacamos el último)? —Sí. —¿Cuántos? —Queda un centavo. Cuando intercambiamos 2 centavos con
2 bombones, las respuestas de Ber son acertadas, pero cuando los elementos son
3 ó 4 vuelve a inventar en sus respuestas. Finalmente, intercambiamos uno por
uno 4 centavos con 4 bombones y preguntamos: —¿Cuántos bombones te di? —Uno, dos, tres, cuatro. —¿Y cuántos centavos tengo en la
mano? —... —¿Cuántos crees que son? —No sé.
II.La segunda etapa: correspondencia
correcta, pero sin equivalencia durable a pesar del intercambio de uno con uno. La única diferencia entre esta etapa
y la anterior aparece en los ejercicios de correspondencia anteriores al
intercambio propiamente dicho:
MARD (5 1/2): voy a comprarte bombones. Pongo
aquí mis centavos (7, alineados). Dame tantos bombones como centavos hay allí.
—(Cuenta). —1, 2, 3... 7. —¿Y los centavos? —1, 2, 3... 7. —Muy bien. ¿Y cuántos bombones me diste (los escondemos con la
mano)? —... —¿Cuántos bombones me diste por un centavo? —L no. —Muy bien. ¿\ por dos centavos? —Dos. —Muy bien. ¿Y por tres centavos?
—Tres. —May bien. ¿Y cuántos centavos hay allí? —1, 2, 3... 7. —Muy bien. ¿a cuántos bombones me
diste? ¿Cuántos bombones hay aquí (los dejamos- ver un momento, luego los
cubrimos de nuevo con la mano) ? —1, 2, 3, 4, 5. Hacemos una nuera tentativa: —Mira. Ahí hay centavos (5, en hilera).
¿Cuántos hay? —1, 2, 3, 4, 5. —Muy bien. (Los tomamos). Cuando yo te dé un centavo, tú mes vas a
dar un bombón I hacemos el intercambio uno por uno, hasta 3). ¿Cuántos
centavos tienes? —1, 2. 3. —(Hacemos dos intercambios más). —¿Y ahora cuántos centavos tienes? —1... t 5. —Bien. ¿Y cuántos bombones tengo yo
(escondemos los 5 bombones)? —...9.
CAUCH (5 Va) sabe también hacer corresponder uno
por uno los bombones a Los centavos, cuando éstos están en hilera, hasta 15,
17, etc. Sabe contar hasta 10 o más los centavos qne se le presentan. Pero no
deduce ninguna equivalencia necesaria del intercambio de 8 bombones con 8 centavos: —¿Cuántos bombones te di?
—(Cuenta). —8. —Bien.
¿Cuántos centavos me diste a mí (están escondidos en la mano del experimentador)?
—10.
PER (6 años) hace corresponder 7 bombones a
7 centavos, y luego los intercambia uno por uno con nosotros: —¿Cuántos
centavos tienes? —(Cuenta). —7. —¿Y cuántos bombones me diste a mí (escondidos
en la mano)? —... Hacemos de nuevo la experiencia con 5: —¿Cuántos centavos
tienes? —5. —Y a mí ¿cuantos bombones me diste?
—...7. —Tercer ensayo: Per cuenta 10 centavos y cree que los bombones
intercambiados son 9; etc.
Hechos como éstos son fáciles de
interpretar. En el momento mismo del intercambio de uno con uno el niño sabe
que hay equivalencia: Mard, por ejemplo, sabe que por un centavo da un bombón,
por 2, 2, por 3, 3, etc. En contradicción con esto, en cuanto el intercambio
termina y una de las colecciones deja de hacerse visible, el sujeto deja de
considerarla como equivalente a la que percibe bajo su vista. Las reacciones así
obtenidas son, pues, exactamente las mismas que las de las etapas correspondientes
estudiadas en el curso de los párrafos anteriores: la numeración hablada no
parece transformar en nada —por debajo de un cierto umbral de comprensión
marcado por el comienzo de la tercera etapa— el mecanismo del pensamiento
forjador de la numeración.
III.Respuestas intermedias y la
tercera etapa: equivalencia monten- tánea, después durable. En el caso del intercambio de uno
con uno que va acompañado de numeración verbal, como en la presente técnica, se
encuentran a veces, en el momento de llegar a la respuesta correcta, casos
interesantes en que el niño, para determinar la equivalencia, enumera los
intercambios, aunque sin lograr asignar un número a los conjuntos mismos
puestos en correspondencia:
MAD (5 1/2) intercambia uno por uno,
contándolos, 7 centavos con 7 bombones: —¿Cuántos bombones tienes? —1, 2„ ... 7. —¿Y cuántos centavos me diste? 1, 2, 3... 7. —Pero si no cuenta los elementos en
el momento mismo del
intercambio, Mad reacciona como en la etapa anterior: habiendo
intercambiado 5 bombones con 5 centavos, Mad estima "que hay 5 bombones¿Y en mi mano cuántos centavos hay? —4. Etc.
FERD (6 años) intercambia también 5 bombones
con 5 centavos y evalúa correctamente las dos colecciones repitiendo la
sucesión de los números: "1, 5... . Pero cuando le preguntamos después cuántos centavos escondidos hay, no
se le ocurre contar los 7 bombones puestos en hilera delante de él.
Resulta claro que estos
comportamientos marcan un progreso respecto de los precedentes, y conducen a la
constitución de una equivalencia real entre las colecciones consideradas. Pero
en realidad la correspondencia a qne llegan Mad y Ferd no es todavía más que la
equivalencia de las ope- rabiones mismas efectuadas un momento antes, es decir,
de las acciones de cambiar de lugar un bombón o un centavo. El niño obtiene la
idea de que _Ala#£©rrespon<ifn<iia .es durable en la medida en que se
atiene a la enumeración de estos intercambios de uno con uno. Pero, en la
medida en que trata de abstraer la totalidad cardinal de las operaciones mismas
que permitieron constituirla, no llega a concebir todavía la equivalencia
necesaria.[1]
Veamos finalmente algunos ejemplos de
sujetos capaces de extraer del intercambio de uno con uno la idea de la
equivalencia durable (casos típicos de la tercera etapa :
SIM (6 ½) Intercambiamos uno por uno 6 centavos con 6 bombones: —¿Cuántos centavos tiíüe*
tn ' —6. —"i yo ¿cuántos bombones? —6. —¿Estás seguro? —Seguro, —.Porqué? —...
FAR (6 ½) Intercambia 8 centavos con 8 bombones: —¿Cuántos bombones tienes?
—8. — ¿ Y cuántos centavos hay? (dejamos
ver con ía mano los centavos agrupado; en. “—a montón!. —8. —¿Seguro? —Sí. —Obtenemos el mismo
resultado con 11. etc.
Esta es la evolución de los juicios de
equivalencia acompañados por numeración hablada. No es exagerado decir que este
factor verbal no desempeña casi mnpir pape, en ei ero jreso mismo de la
correspondencia y la equivalencia. Encontramos "-ss sesmas etapas en esta
última experiencia y en las consignadas en capitulo 1-3 y a edades visiblemente iguales. Es indudable
que en el momento en que la correspondencia
se vuelve cuantitativa y hace surgir una equivalencia incipiente, la numeración
hablada puede acelerar el proceso de evolución. Pero los nombres de los números
como tales no lo engendran. y eso es iodo lo que queríamos demostrar.
Habiendo terminado este análisis de
las relaciones entre la correspondencia y la equivalencia, sería conveniente
explicarlas. Pero antes de ello es preciso estudiar la evolución de la
correspondencia como tal, o sea, de su mecanismo mismo, no ya en su forma
provocada sino espontánea. En el capítulo siguiente
trataremos de llevar a efecto ese estudio e investigaremos cómo el niño evalúa
las cantidades, cómo descubre en ese momento la correspondencia término a
término, y cómo la utiliza en el caso de la correspondencia entre objetos no ya
cualitativamente complementarios sino homogéneos.
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